Question

如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=

3

，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點F為線段PB上一點，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）過點C做AB的垂線CE，E為垂足，我們易求出AE的值，進而A為原點建立空間直角坐標系，求出直線CF的方向向量和平面ADP的法向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直，進而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分別求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．

解答：證明：（I）過點C做AB的垂線CE，E為垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四邊形ABCD為平行四邊形
∴CE=AD=

3

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（

3

，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵

CF

=（-

3

，0，1），

AB

=（0，3，0）
又∵

CF

•

AB

=0，
∴

CF

⊥

AB

，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量為

AB

，
故CF∥平面ADP…6分
（II）設(shè)平面AFC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

AC

，

n

⊥

FC

，
即

n

•

AC

=0，

n

•

FC

=0，
即

2y+ 3 x=0 3 x-z=0

則

n

=（1，-

3

2

，

3

）
又AP⊥平面ACB，故

AP

=（0，0，3）為平面ACB的一個法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值為

| n • AP |

| n |•| AP |

=

3 3

3 3 4 +1+3

=

2 57

19

…12分

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得直線CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的發(fā)是求出平面FAC和平面ABC的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．