Question

設(shè){a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，….

    （1）將數(shù)列{a_n}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

   

 

    ①寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行，第五行各數(shù)；

    ②求a₁₀₀.

    （2）設(shè)｛b_n｝是集合{2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知b_k＝1 160，求k.

 

Answer 1

（1）①解：第四行17   18    20    24

    第五行　33    34    36    40    48

    ②解法一：設(shè)a₁₀₀=2^t0+2^s0.只需確定正整數(shù)t₀，s₀.

    數(shù)列｛a_n｝中小于2^t0的項(xiàng)構(gòu)成的子集為{2^t+2^s|0≤s＜t＜t₀}.

    其元素個(gè)數(shù)為C²_t0=.

    依題意＜100，

    滿足上式的最大整數(shù)t₀為14，所以取t₀＝14.

    因?yàn)?00-C²₁₄=s₀+1，由此解得s₀=8.

    所以a₁₀₀=2¹⁴+2⁸=16640.

    解法二：n為a_n的下標(biāo)，三角形數(shù)表第一行第一個(gè)元素下標(biāo)為1，

    第二行第一個(gè)元素下標(biāo)為+1=2，

    第三行第一個(gè)元素下標(biāo)為+1=4，

    ……

    第t行第一個(gè)元素下標(biāo)為+1，第t行第s個(gè)元素下標(biāo)為+s，該元素等于2^t+2^s-1．

    據(jù)此判斷a₁₀₀所在的行，因?yàn)?SUB>＜100≤，所以a₁₀₀是三角形數(shù)表第14行的第9個(gè)元素，a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1=16640.

    （2）解：b_k=1160=2¹⁰+2++2³，

    令M={c∈B|c＜1160}(其中B={2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t})，

    因M={c∈B|c＜2¹⁰}∪{c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}∪{c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}.

    現(xiàn)在求M的元素個(gè)數(shù)：{c∈B|c＜2¹⁰}={2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t＜10}，其元素個(gè)數(shù)為C³₁₀；

    {c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}={2¹⁰+2^s+2^r|0≤r＜s＜7}.

其元素個(gè)數(shù)為C²₇；

    {c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}={2¹⁰+2⁷+2^r|0≤r＜3}；

其元素個(gè)數(shù)為C¹₃；

    ∴k=+++1=145.