Question

已知a，b是實數，函數f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導函數，若f′(x)·g′(x)≥0在區間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間上單調性一致，
(1)設a＞0，若f(x)和g(x)在區間[-1，+∞)上單調性一致，求b的取值范圍；
(2)設a＜0且b≠0，若f(x)和g(x)在以a，b為端點的區間上單調性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

解：f′(x)=3x²+a，g′(x)=2x+b，
(1)由題意知f′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立．
因為a＞0，故3x²+a＞0，進而2x+b≥0，即b≥-2x在區間[-1，+∞)上恒成立，
所以b≥2，因此b的取值范圍是[2，+∞)。
(2)令f′(x)=0，解得，
若b＞0，由a＜0得0∈(a，b)，
又因為f′(0)g′(0)=ab＜0，
所以函數f(x)和g(x)在(a，b)上不是單調性一致的，因此b≤0．
現設b≤0，當x∈(-∞，0)時，g′(x)＜0；
當x∈(-∞，)時，f′(x)＞0．
因此，當時，f′(x)g′(x)＜0．
故由題設得a≥ 且，從而，
于是，
因此，且當a=，b=0時等號成立．
又當，b=0時，f′(x)g′(x)=6x(x²-)，
從而當x∈時，f′(x)g′(x)＞0，
故函數f(x)和g(x)在上單調性一致，因此|a-b|的最大值為。