Question

已知直線l經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點．
（1）點A（1，0）到直線l的距離為1，求l的方程；
（2）求點A（1，0）到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）聯立方程組求得交點坐標，分直線l不存在斜率，存在斜率兩種情況討論，不存在斜率時易檢驗；存在斜率時設l的點斜式方程，由點A到直線l的距離可求得斜率；
（2）用斜率k表示出點A（1，0）到直線的距離d，恰當變形后利用基本不等式可求得其最大值；

解答：（1）聯立

2x+y-5=0 x-2y=0

，解得交點B（2，1），
若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，
此時點A到直線l的距離為1，滿足；                         
若直線l的斜率存在，
設方程為y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
∴

|k+1-2k|

k2+1

=1，
解得k=0，直線方程為y=1；              
綜上得：直線l的方程為x=2或y=1．
（2）由（1）可得點A到直線l的距離為d=

|k+1-2k|

k2+1

=

k2-2k+1 k2+1

=

1+ -2k k2+1

，
顯然k＜0時，d有最大值，且d=

1+ -2k k2+1

=

1+ 2 (-k)+ 1 (-k)

≤

1+ 2 2

=

2

當且僅當k=-1取等號，
∴點A到直線l的距離的最大值為

2

．

點評：本題考查直線方程的求解、點到直線的距離公式及基本不等式，考查函數思想，考查學生解決問題的能力．