Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，圓方程為，點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)

（1）如圖1，直線的斜率為，直線交圓于不同兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)度；

（2）動(dòng)點(diǎn)在圓上作圓周運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）在（1）中，如圖2，過(guò)點(diǎn)作直線，交圓于不同兩點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求出直線的方程，再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理可求弦的長(zhǎng)．

（2）利用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法可求的軌跡方程．

（3）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，消元后利用韋達(dá)定理可證對(duì)任意的總成立，從而可證．

（1）直線的方程為即，

圓心到直線的距離為，故．

（2）設(shè)，則，

故，所以點(diǎn)的軌跡方程為．

（3）我們證明：為定值．

直線的斜率必存在．

設(shè)直線的方程為：，，

則．

由可得，

故，即．

所以

，

故對(duì)任意的總成立，又，

所以．