Question

已知：在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，向量

m

=（2

3

sin

B

2

，

3

2

），

n

=（sin（

B

2

+

π

2

），1）且

m

•

n

=3
（1）求角B的大小；?
（2）若角B為銳角，a=6，S_△ABC=6

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根據兩向量的坐標，利用平面向量的數量積計算

m

•

n

=3，再利用誘導公式及二倍角的余弦函數公式求得sinB的值，由B為三角形的內角，進而利用特殊角的三角函數值求得B的度數；
（2）根據B為銳角判斷出B的值，求出sinB的值，再由a的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，使面積等于已知的面積，進而求得c的值，最后a，c及cosB的值，利用余弦定理求得b的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=3，
∴

m

•

n

=2

3

sin

B

2

•sin（

B

2

+

π

2

）+

3

2

=3，即2

3

sin

B

2

cos

B

2

=

3

2

，（2分）
∴sinB=

3

2

，又B為三角形ABC的內角，（4分）?
∴B=

π

3

或 B=

2π

3

；（6分）
（2）∵B為銳角，∴B=

π

3

，
由S=

1

2

acsinB=6

3

，a=6，解得c=4，（9分）
由b²=a²+c²-2accosB=36+16-2×6×4×

1

2

=28，
∴b=2

7

．（12分）

點評：本題屬于解三角形的題型，涉及的知識有平面向量的數量積運算，三角形的面積公式，二倍角的余弦函數公式，以及余弦定理的應用．考查了學生分析推理和基本的運算能力．熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．