Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB1=1，AB=

2

．
（1）求證：AC⊥平面B₁CB；
（2）求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥平面B₁CB，根據線面垂直的判定定理，及已知條件可證BB₁⊥AC，AC⊥BC，從而可得AC⊥平面B₁CB；
（2）由（1）可知BB₁⊥平面ABC，故考慮利用VB1-ABC =

1

3

×

1

2

×AC×BC×BB1進行求解即可．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
則BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
又由于AC=BC=BB₁=1，AB₁=

2

，則AB=

2

則由AC²+BC²=AB²可知，AC⊥BC，
又由上BB₁⊥底面ABC可知BB₁⊥AC，
則AC⊥平面B₁CB；
（2）由于在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
故三棱錐B₁-ABC的體積VB1-ABC =

1

3

×

1

2

×AC×BC×BB1=

1

6

．

點評：本題主要考查了線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化，利用換頂點求解三棱錐的體積，這是高考在立體幾何（尤其文科）的考查重點．