Question

已知△ABC內角A、C、B成等差數列，A、B、C的對邊分別為a，b，c，且c=3，若向量

p

=（1，sinA）與

q

=（2，sinB）共線，求a，b的值及△ABC的面積．

Answer 1

分析：由A、C及B成等差數列，利用三角形的內角和定理及等差數列的性質得到C的度數，再由兩向量共線，利用兩向量共線時滿足的條件列出關系式，利用正弦定理化簡后得到b=2a，記作①，由c及cosC的值，利用余弦定理列出關于a與b的關系式，記作②，聯立①②得到關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：∵內角A、C、B成等差數列，且A+C+B=π，
∴C=

π

3

，…（2分）
∵向量

p

=（1，sinA）與

q

=（2，sinB）共線，
∴sinB-2sinA=0，…（4分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=2a①，…（6分）
∵c=3，由余弦定理得：9=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9②，…（8分）
解①②組成的方程組，解得：

a= 3 b=2 3

，…（10分）
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×2

3

×sin

π

3

=

3 3

2

．…（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算，等差數列的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．