Question

已知點(diǎn)，曲線上的動點(diǎn)滿足,定點(diǎn)，由曲線外一點(diǎn)向曲線引切線，切點(diǎn)為，且滿足.

（1）求線段長的最小值；
（2）若以為圓心所作的圓與曲線有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點(diǎn)乘、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用向量的點(diǎn)乘求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合找出，所以，然后配方法求最值；第二問，利用兩圓的位置關(guān)系列出不等式，用配方法求最值，得到圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，
∴，
即點(diǎn)軌跡(曲線)方程為，即曲線是．     2分
連∵為切點(diǎn)，，由勾股定理有：．
又由已知，故．
即：，
化簡得實數(shù)間滿足的等量關(guān)系為：，即．（4分）
∴＝，
故當(dāng)時，即線段長的最小值為     7分
（另法）由點(diǎn)在直線：上．
∴，即求點(diǎn)到直線的距離．
∴（7分）
（Ⅱ）設(shè)的半徑為，∵與有公共點(diǎn)，的半徑為1，
即且．    8分
而，       9分
故當(dāng)時，．      10分
此時,．    11分
得半徑取最小值時的標(biāo)準(zhǔn)方程為．    13分
（另法）與有公共點(diǎn)，半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點(diǎn)與垂直的直線與的交點(diǎn)．
．
又，（10分）
解方程組，得．即，
∴所求標(biāo)準(zhǔn)方程為．（13分）