Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°.

(1)求證：面PCD⊥面PBD；
(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；
(3)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點E在棱PA上的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在

(1)證明:PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，
又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB?平面PBD.
∴CD⊥平面PBD，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBD.
(2)如圖，以B為原點，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設BC＝a，BP＝b，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，
D(2,2,0)，P(0,0，b)．
∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，
∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，
又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，
異面直線PA和CD所成角等于60°，
∴＝，
即＝，解得b＝2，
＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
設平面PAD的一個法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
則由得
取n₁＝(1,0,1)，
∵sin θ＝＝＝，∴直線PC和平面PAD所成角的正弦值為.
(3)解　假設存在，設＝λ，且E(x，y，z)，則(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，設平面DEB的一個法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，
則由得
取n₂＝(λ－1,1－λ，λ)，
又平面ABE的法向量n₃＝(0,1,0)，
由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合題意)．
∴存在這樣的E點，E為棱PA上的靠近A的三等分點．