【題目】正四面體
中，
是
的中點，
是棱
上一動點，
的最小值為
，則該四面體內切球的體積為_____.
【答案】
【解析】
將正三角形
和正三角形
沿
邊展開后使它們在同一平面內，即可得到
三點共線時，
最小，在三角形
中，由余弦定理可求得正四面體的邊長為
，將正四面體內接于一個正方體中，利用體積差即可求得正四面體的體積為
，再以內切球的球心為頂點可將正四面體分成四個等體積的三棱錐，利用等體積法即可求得內切球的半徑為
，問題得解。
如下圖，正方體中作出一個正四面體
將正三角形和正三角形沿邊展開后使它們在同一平面內，如下圖：
要使得最小，則三點共線，即：
，
設正四面體的邊長為
，在三角形中，由余弦定理可得：
，解得：，
所以正方體的邊長為2，正四面體的體積為：
，
設四正面體內切球的半徑為
，由等體積法可得：
，
整理得：
，解得：
，
所以該四面體內切球的體積為
.
能力評價系列答案
唐印文化課時測評系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某超市2018年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示：
根據該折線圖可知，下列說法錯誤的是（ ）
A. 該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高
B. 該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低
C. 該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益
D. 該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了得到函數
的圖象，需對函數
的圖象所作的變換可以為（ ）
A. 先將圖象上所有點的橫坐標壓縮為原來的
，縱坐標不變，再向右平移
個單位
B. 先向左平移
個單位，再將圖象上所有點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變
C. 先向左平移
個單位，再將圖象上所有點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變
D. 先向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線L: y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A、B兩點（異于原點），
（1）若直線L過拋物線焦點，求線段 |AB|的長度；
（2）若OA⊥OB ，求m的值；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
，
為坐標原點，
為橢圓的左焦點，離心率為
，直線
與橢圓相交于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
是弦
的中點，
是橢圓上一點，求
的面積最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，四棱錐
中，
底面
，面是直角梯形，
為側棱
上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．
（1）證明：
平面
；
（2）線段
上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
？若存在，找到所有符合要求的點，并求
的長；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】假設某種設備使用的年限
（年）與所支出的維修費用
（萬元）有以下統計資料：
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
維修費用 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 |
若由資料知對呈線性相關關系.試求：
（1）求
；
（2）線性回歸方程
；
（3）估計使用10年時，維修費用是多少？
附：利用“最小二乘法”計算
的值時，可根據以下公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行
項，排
；第二行
項，從左到右分別排
，
；第三行
項，……以此類推，設數列的前
項和為
，則滿足
的最小正整數的值為（ ）
4,
4,4
3
4,43,4 
4,43,4 , 4 
…
A. 
B. 
C. 
D. 
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