Question

過點A（-1，10）且被圓x²+y²-4x-2y-20=0截得的弦長為8的直線方程是

 

．

Answer 1

分析：由于所求直線過點A（-1，10），故可設出直線的點斜式方程，然后根據弦心距、半弦長、半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，求出k值，進而得到直線方程，但點斜式不能表示與Y軸平行的直線，故還要討論直線斜率不存在的情況．

解答：解：圓x²+y²-4x-2y-20=0化為標準方程為（x-2）²+（y-1）²=25
當所求直線的斜率存在時，設為k，則直線方程為y-10=k（x+1），即kx-y+k+10=0
∴圓心（2，1）到直線的距離d=

|2k-1+k+10|

k2+1

=

|3k+9|

k2+1

又∵弦長為8，圓半徑r=5，∴弦心距d=3，
∴

|3k+9|

k2+1

=3，
∴k=-

4

3

∴此時直線方程為4x+3y-26=0
當所求直線的斜率不存在時，方程為x+1=0，此時圓心（2，1）到直線的距離為3，弦長為8
綜上所述，所求直線的方程為4x+3y-26=0或x=-1．
故答案為：4x+3y-26=0或x=-1

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，直線的一般式方程，其中在求直線方程時，要討論一個直線斜率不存在的情況，這是本題的易忽略點．