Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝2a_n－1，數列{b_n}滿足b₁＝2，b_n+1＝a_n＋b_n．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

答案：
解析：

(1)an＝2n－1；(2)Tn＝2n－1＋n． 　　(1)當n＝1時，a1＝2a1－1，所以a1＝1．當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，所以an＝2an－1．于是數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列．所以an＝2n－1． 　　(2)因為bn+1＝an＋bn，所以bn+1－bn＝2n－1．從而bn－bn－1＝2n－2，bn－1－bn－2＝2n－3，…，b2－b1＝1．各式相加得bn－b1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1．又b1＝2，所以bn＝2n－1＋1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋n＝2n－1＋n．

提示：

形如bn＝bn－1＋c和bn＝bn－1＋f(n)的遞推式均可用疊加法推導{bn}的通項．