Question

（2013•泰安二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，點M是橢圓上的任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，橢圓的離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓E的左焦點F₁作直線l交橢圓于P、Q兩點，點A為橢圓右頂點，能否存在這樣的直線，使

AP

•

AQ

=3，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的定義、離心率計算公式及a²=b²+c²即可得出；
（II）先對直線l的斜率討論，把直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及向量的數量積運算即可得出．

解答：解：（I）由題意可得

|MF1|+|MF2|=4=2a e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a=2，c=1 b2=3

．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）若直線l⊥x軸，則P(-1，

3

2

)，Q(-1，-

3

2

)，
又A（2，0），∴

AP

=(-3，

3

2

)，

AQ

=(-3，-

3

2

)，
∴

AP

•

AQ

=9-

9

4

=

27

4

≠3，此時不滿足條件，直線l不存在．
當直線l的斜率存在時，設直線ld的方程為：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵

AP

=(x1-2，y1)，

AQ

=(x2-2，y2)．
∴

AP

•

AQ

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）=3．
∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0，
∴

(1+k2)(4k2-12)

3+4k2

-

8k2(k2-2)

3+4k2

+k2+1=0，
解得k=±

15

5

．
∴滿足條件的直線l存在，其方程為y=±

15

5

(x+1)．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓的相交問題轉化為方程聯立及根與系數的關系、數量積等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．