Question

已知b>-1，c>0，函數f(x)=x+b的圖像與函數g(x)=x²+bx+c的圖像相切．

（1）求b與c的關系式（用c表示b）；

（2）設函數F(x)=f(x)g(x)在(-¥，+¥)內有極值點，求c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

本小題考查導數、切線、極值等知識及綜合運用數學知識解決問題的能力 解：（1）依題意，令f(x)=g¢(x)，得2x+b=1，故x= 由于，得(b+1)2=4c． ∵ b>-1，c>0，∴ b=-1+． （2）F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc． ∴ F¢(x)=3x2+4bx+b2+c．令F¢(x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0． 則D=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c) 若D=0，則F¢(x)=0有一個實數根x0，且F¢(x)的變化如下： x (-¥，x0) x0 (x0，+¥) F¢(x) + 0 + 于是x=x0不是函數F(x)的極值點． 若D>0，則F¢(x)=0有兩個不相等的實根x1、x2(x1<x2)，且F¢(x)的變化如下： x (-¥，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+¥) F¢(x) + 0 - 0 + 由此x=x1是函數F(x)的極大值點，是x=x2函數F(x)的極小值點． 綜上所述，當且僅當D>0時，函數F(x)在(-¥，+¥)上有極值點． 由D=4(b2-3c)>0得b<或b> ∵ b=-1+，∴ -1+<或-1+> 解之得0<c<7-或c>7+． 故所求c的取值范圍是(0，7-)∪(7+，+¥)