Question

若關于x的不等式（m-3）x²-2mx-8＞0（m∈R）的解集是一個開區間D，定義開區間（a，b）的長度l=b-a．
（1）求開區間D的長度l（l用m表示），并寫出其定義域
（2）若l∈[1，2]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設（m-3）x²-2mx-8=0的兩根為x₁，x₂，根據題意得△=4（m²+8m-24）＞0，利用職權根與系數的關系寫出兩根的和，積，最后利用l的長度公式即可求得開區間D的長度l，結合方程有根條件即可求得其定義域；
（2）結合（1）m的范圍及條件：“l∈[1，2]，”解關系m的不等關系式，即可得出m的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意得m-3＜0，設（m-3）x²-2mx-8=0的兩根為x₁，x₂，
則△=4（m²+8m-24）＞0，x1+x2=

2m

m-3

，x1x2=-

8

m-3

l=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x

=

( 2m m-3 )2-4(- 8 m-3 )

=

2 m2+8m-24

|m-3|

由

m-3＜0 △=4(m2+8m-24)＞0

⇒m＜-4-2

10

或3＞m＞-4+2

10

，
∴函數定義域為(-∞，-4-2

10

)∪(-4+2

10

，3)
（2）1≤l=

2 m2+8m-24

|m-3|

≤2?(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2?

3m2+38m-105≥0 14m≤33

?

m≤-15或m≥ 7 3 m≤ 33 14

結合（1）m的范圍，m的取值范圍為(-∞，-15]∪[

7

3

，

33

14

]

點評：本小題主要考查一元二次不等式的解法、根式不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．