Question

已知數列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+

a

2 n

（n∈N₊，n≥2），且

an+1

an

=kn+1，
（1）求證：k=1；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求數列{

anxn-1

(n-1)!

}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，確定k+1=a₂=2k，即可求得結論；
（2）利用疊乘法，可求數列{a_n}的通項公式；
（3）分類討論，利用錯位相減法可求數列{

anxn-1

(n-1)!

}的前n項和．

解答：（1）證明：∵

an+1

an

=kn+1，∴

a2

a1

=a2=k+1，
又∵a1=1，an+1an-1=anan-1+

a

2 n

（n∈N₊，n≥2）
∴a3a1=a2a1+

a

2 2

，∴

a3

a2

=a2+1，
∵

a3

a2

=2k+1，∴a₂=2k．
∴k+1=a₂=2k，∴k=1．
（2）解：

an+1

an

=n+1，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=n•（n-1）•…•2•1=n!
（3）解：設數列{

anxn-1

(n-1)!

}的前n項和為S_n，
因為

anxn-1

(n-1)!

=nxn-1，所以，當x=1時，Sn=

n(n+1)

2

，
當x≠1時，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1①
①•x得Sn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxⁿ②
由①-②得：(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

1-xn

1-x

-nxn
∴Sn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

綜上所述：S_n=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

點評：本題考查數列遞推式，考查疊乘法的運用，考查錯位相減法求數列的和，正確運用求通項與求和的方法是關鍵．