Question

已知直線l₁：（3+a）x-4y=5-3a；l₂：2x-（5+a）y=8
（1）a為何值時，l₁⊥l₂？
（2）當a=0時，求圓C：x²+y²+4x-12y+39=0關于直線l₁對稱的圓的方程．

Answer 1

考點：關于點、直線對稱的圓的方程,直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：直線與圓

分析：（1）由條件根據兩條直線垂直的條件可得（3+a）•2+（-4）•[-（5+a）]=0，由此求得a的值．
（2）利用了垂直、中點在軸上這兩個條件，求出圓心C關于直線l₁對稱的圓的圓心坐標，可得要求的圓的標準方程．

解答： 解：（1）要使l₁⊥l₂ ，需（3+a）•2+（-4）•[-（5+a）]=0，
求得a=-

13

3

．
（2）當a=0時，直線l₁：3x-4y-5=0，圓C：x²+y²+4x-12y+39=0 即（x+2）²+（y-6）²=1，
設圓心C（-2，6）關于直線直線l₁：3x-4y-5=0的對稱點為D（a，b），
則由

b-6 a+2 • 3 4 =-1 3• a-2 2 -4• b+6 2 -5=0

，求得

a= 32 5 b=- 26 5

，
故圓C關于直線l₁對稱的圓的方程為 (x-

32

5

)2+(y+

26

5

)2=1．

點評：本題主要考查兩條直線垂直的條件，求一個點關于直線的對稱點的方法，利用了垂直、中點在軸上這兩個條件，求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關鍵，屬于基礎題．