Question

如圖在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圓C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4.

(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被C₂截得的弦長相等．試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

解：(1)由于直線x＝4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C₁的圓心到直線l的距離為d，因為圓C₁被直線l截得的弦長為2，所以d＝＝1.

由點到直線的距離公式得d＝，

從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，

所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)設點P(a，b)滿足條件，不妨設直線l₁的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l₂的方程為y－b＝－(x－a)．因為圓C₁和C₂的半徑相等，且圓C₁被直線l₁截得的弦長與圓C₂被直線l₂截得的弦長相等，所以圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，即

＝，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因為k的取值有無窮多個，所以

或

解得或

這樣點P只可能是點P₁或點P₂.

經檢驗點P₁和P₂滿足題目條件．