Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數；．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（3）若m＞0，函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時，易知f（x）在（-∞，0）上遞減，有f（x）＞f（0）=3，再有給出的定義判斷；
（2）由函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，結合定義則有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再轉化為在[0，+∞）上恒成立即可；
（3）據題意先研究函數g（x）在[0，1]上的單調性，確定函數g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據上界的定義，T（m）不小于最大值，從而解決．
解答：解：（1）當a=1時，
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域為（3，+∞）故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函數f（x）在（-∞，1）上不是有界函數．（4分）
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，
∴在[0，+∞）上恒成立（6）
∴（7分）
設2^x=t，，，由x∈[0，+∞）得t≥1，
設1≤t₁＜t₂，
所以h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1
所以實數a的取值范圍為[-5，1]．（10分）
（3），
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上遞減，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即（13分）
①當，即時，，（12分）
此時，（14分）
②當，即時，，
此時，
綜上所述，當時，T（m）的取值范圍是；
當時，T（m）的取值范圍是[，+∞）（16分）
點評：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．