Question

已知函數f(x)=+lnx(a∈R,x∈［,2］)，

（1）當a∈［-2,］時，求f(x)的最大值；

（2）設g(x)=［f(x)-lnx］·x²,k是g(x)圖象上不同兩點連線的斜率，是否存在實數a,使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）f′(x)=-1+=(x²-x+a),

∵1-4a≥0，令f′(x)=0,

解得x₁=,x₂=,

∵-2≤a≤,∴0≤1-4a≤9.

∴-1≤x₁≤,≤x₂≤2.

又x∈［,2］,∴≤x≤x₂時，f′(x)≥0;x₂≤x≤2時，f′(x)≤0.

∴f(x)在x=x₂處有最大值，其值為+ln.

（2）g(x)=ax-x³,

設(x₁,y₁),(x₂,y₂)為g(x)圖象上不同的兩點，

則k==a-(x₂²+x₁x₂+x₁²),8分

由k＜1得a-(x₂²+x₁x₂+x₁²)＜1，

即a-1＜x₂²+x₁x₂+x₁².

不妨設≤x₁＜x₂≤2，則3x₁²＜x₂²+x₁x₂+x₁²＜3x₂²,

∴a-1≤,即a≤.

故存在a≤使題設條件得以滿足.