Question

已知在數列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（Ⅰ）求證：數列{

1

an

}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若Cn=

3an

3n+1

，求數列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由條件可得

1

an

-

1

an-1

=3，故數列{

1

an

}是以1為首項、以3為公差的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

an

=1+（n-1）3=3n-2，從而可得數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由于Cn=

3an

3n+1

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，用裂項法求出數列{C_n}的前n項和T_n 的值．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺），∴3+

1

an-1

-

1

an

=0，
即

1

an

-

1

an-1

=3，故數列{

1

an

}是以1為首項、以3為公差的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

an

=1+（n-1）3=3n-2，
∴a_n =

1

3n-2

．
（Ⅲ）由于Cn=

3an

3n+1

=

3

(3n+1 )(3n-2)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，
∴數列{C_n}的前n項和T_n =（1-

1

4

）+（

1

4

- 

1

7

）+（

1

7

- 

1

10

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
=1-

1

3n+1

=

3n

3n+1

．

點評：本題主要考查等比、等差關系的確定，用裂項法進行數列求和，屬于中檔題．