Question

已知集合M={x|1≤x≤10，x∈N}，對它的非空子集A，將A中每個元素k，都乘以（-1）^k再求和（如A={1，3，6}，可求得和為（-1）•1+（-1）³•3+（-1）⁶•6=2，則對M的所有非空子集，這些和的總和是

2560

．

Answer 1

分析：根據題意，將M中所有非空子集分類考慮完備，將所有非空子集中的含有1的總個數確定好，從而可求其和，同理求得含有2、3…10的部分的和，問題即可解決．

解答：解：∵M={x|1≤x≤10，x∈N}={1，2，…10}，
∴M中所有非空子集中含有1的有10類：
①單元素集合只有{1}含有1，即1出現了C₉⁰次；
②雙元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，10}，即1出現了C₉¹次；
③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，9，10}即1出現了C₉²次；
…
⑩含有十個元素{1，2，…}1出現了C₉⁹次；
∴1共出現C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹=2⁹；
同理2，3，4，…10各出現2⁹次，
∴M的所有非空子集中，這些和的總和是 2⁹•[（-1）¹+2×（-1）²+…+10×（-1）¹⁰]=2⁹×5=2560．
故答案為：2560．

點評：本題考查數列求和，難點在于將M中所有非空子集合理分類計算，用組合數性質解決，考查學生綜合分析與推理的能力，屬于難題．