Question

已知向量
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的最小值為-3，求實數k的值；
（3）若對任意實數x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量垂直的充要條件的坐標表示式，建立關于x、y的等式，從中解出用x表示y的式子，即可得到函數y=f（x）的解析式．
（2）將f（x）表達式的分子、分母都除以2^x，得到它的分母2^x+2^-x+1≥2+1=3．再根據k與1的大小關系分類討論，即可得到必定有k＜1，且當2^x=2^-x=1即x=0時，函數有最小值為-3，由此解關于k的等式即得實數k的值．
（3）根據構成三角形的條件，得出不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，然后分三種情況進行討論，轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而可以求出實數k 的取值范圍．
解答：解：（1）∵
∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化簡整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函數y=f（x）的解析式為y=；
（2）∵f（x）==1+
∴根據函數f（x）的最小值為-3，得t=的最小值為-4
∵2^x+2^-x+1≥2+1=3
∴當k＞1時，=≤；當k＜1時，=≥；
k=1時，函數f（x）=1恒成立不符合題意．
∴結合題意可得k＜1，且當且僅當2^x=2^-x=1，即x=0時，t的最小值為=-4，解之得k=-11
即函數f（x）的最小值為-3時，實數k的值為-11；
（3）∵對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當k＞1時，因為2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，
∴≤2，解之得1＜k≤4；
當k=1時，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足題意的條件；
當k＜1時，因為≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，
∴≥1，解之得-≤k＜1；
綜上所述，實數k的取值范圍是[-，4]
點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數的表達式并討論函數的最值．著重考查了向量數量積公式、基本不等式求最值、函數恒成立等知識，屬于中檔題．