Question

【題目】已知函數F（x）= ，（a為實數）．
（1）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若對任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數F（x）= 定義域為R，

且F（﹣x）= = ，

① 若y=f（x）是偶函數，則對任意的x 都有f（x）=f（﹣x），

即 = ，即2x（a+1）=a+1，

解可得a=﹣1；

②若y=f（x）是奇函數，則對任意的x 都有f（x）=﹣f（﹣x），

即 =﹣ ，即2x（a﹣1）=1﹣a，

解可得a=1；

故當a=﹣1時，y=f（x）是偶函數，

當a=1時，y=f（x）是奇函數，

當a≠±1時，y=f（x）既非偶函數也非奇函數

（2）解：由f（x）≥1可得：2x+1≤a2x﹣1，即 ≤a﹣1

∵當x≥1時，函數y1= 單調遞減，其最大值為1，

則必有a≥2，

同理，由f（x）≤3 可得：a2x﹣1≤32x+3，即a﹣3≤ ，

∵當x≥1時，y2= 單調遞減，且無限趨近于0，

故a≤3，

綜合可得：2≤a≤3

【解析】（1）、根據題意，先求出函數的定義域，易得其定義域關于原點對稱，求出F（﹣x）的解析式，進而分2種情況討論：①若y=f（x）是偶函數，②若y=f（x）是奇函數，分別求出每種情況下a的值，綜合即可得答案；（2）根據題意，由f（x）的范圍，分2種情況進行討論：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每種情況下函數的恒成立的條件，可得a的值，進而綜合2種情況，可得答案．