Question

設函數f(x)=

(2-x)(x+4)x≤2 (2-x)(x-a)x＞2

．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）設函數f（x）在區間[-4，6]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數在區間[-2，2]上的解析式一定，找出函數的對稱軸，由對稱軸把區間[-2，2]分段，判出函數在兩個區間上的單調性，則最大值和最小值可求；
（Ⅱ）函數f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a橫過定點（2，0），根據a的不同取值范圍對函數的對稱軸所在的位置討論，結合函數f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8得到函數f（x）在區間[-4，6]上的單調性．最后通過比較極值與端點處的函數值得到函數在[-4，6]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在區間[-2，2]上，f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8．
其對稱軸為x=-1，且開口向下，如圖，

所以f（x）在區間[-2，-1]上單調遞增，在區間[-1，2]上單調遞減，
所以f（x）在區間[-2，2]上的最大值為f（-1）=-（-1）²-2×（-1）+8=9，
最小值為f（2）=-2²-2×2+8=0．
（Ⅱ）當x＞2時，f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a
函數的對稱軸為x=

a+2

2

，且橫過定點（2，0）．
當a≤2時，f（x）在[-4，-1]上單調遞增，在[-1，6]上單調遞減，
所以f（x）的最大值為f（-1）=9．
當2＜a≤8時，f（x）在[-4，-1]上單調遞增，在[-1，2]上單調遞減，
在[2，

a+2

2

]單調遞增，在[

a+2

2

，6]上單調遞減，
此時f（-1）=9，f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2≤9，所以f（x）的最大值為9．
當8＜a≤10時，f（x）在[-4，-1]上單調遞增，在[-1，2]上單調遞減，
在[2，

a+2

2

]單調遞增，在[

a+2

2

，6]上單調遞減．
此時f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2＞f(-1)，所以f（x）的最大值為

(a-2)2

4

．
當a＞10時，f（x）在[-4，-1]上單調遞增，在[-1，2]上單調遞減，在[2，6]單調遞增，
此時f（6）=4（a-6）＞f（-1），所以f（x）的最大值為4（a-6）．
綜上，g(a)=

9   a≤8 (a-2)2 4 8＜a≤10 4(a-6)   a＞10.

點評：本題考查了二次函數在閉區間上的最值，考查了分類討論思想和數形結合的解題思想，解答此類問題的關鍵是正確分類，并判斷出函數在不同區間上的單調性，對于最值點的選取應引起足夠重視，此題是中檔題．