Question

已知f（x）滿足f（x+4）=f（x）且f（4+x）=f（4-x），若2≤x≤6時，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，則f（lnb）與f（lnc）的大小關系是（　�。�

• A、f（lnb）≤f（lnc）
• B、f（lnb）≥f（lnc）
• C、f（lnb）＞f（lnc）
• D、f（lnb）＜f（lnc）

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）且f（4+x）=f（4-x），得到函數f（x）的最小正周期為4，關于x=4對稱，再由2≤x≤6時，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，得到b=4，c=2，再求出-2≤x≤2時，f（x）的表達式，從而運用函數f（x）在（0，2）的單調性判斷f（lnb）和f（lnc）的大小．

解答：解：∵對x∈R，f（x+4）=f（x），
∴函數f（x）是最小正周期為4的函數，
∵對x∈R，f（4+x）=f（4-x），
∴函數的對稱軸為x=4，
又f（x）=f（4-x），
則函數的對稱軸也為x=2，
∵2≤x≤6時，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，
∴b=4，c=2，
∴2≤x≤6時，f（x）=|x-4|+2，
令-2≤x≤2，則2≤x+4≤6，
f（x+4）=|x+4-4|+2=|x|+2，
又f（x+4）=f（x），
∴-2≤x≤2時，f（x）=|x|+2，
當0≤x≤2時，f（x）=x+2，是增函數，
∵lnb=ln4，lnc=ln2，0＜ln2＜ln4＜2，
∴f（ln2）＜f（ln4）即f（lnc）＜f（lnb）．
故選：C．

點評：本題主要考查函數的性質及應用，考查函數的周期性及運用，函數的對稱性和單調性及運用，屬于中檔題．