Question

下表提供了某廠節油降耗技術發行后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對應數據．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求線性回歸方程所表示的直線必經過的點；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程．并預測生產1000噸甲產品生產能耗多少噸標準煤？（參考：

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

）

Answer 1

分析：（1）線性回歸方程所表示的直線必經過數據樣本中心點（

.

X

，

.

y

），由已知中數據代入平均數公式，可得答案．
（2）根據（1）中x，y的平均數，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數，寫出回歸直線的方程，得到結果．

解答：解：（1）

.

X

=4.5，

.

Y

=3.5，
由線性回歸方程所表示的直線必經過數據樣本中心點
可得線性回歸方程所表示的直線（4.5，3.5）…（3分）
（2）∵

4

i=1

XiYi=66.5

4

i=1

X

2 i

=32+42+52+62=86，
又   

.

X

=4.5，

.

Y

=3.5
所以

?

b

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=

66.5-63

86-81

=0.7； 
 

?

a

=

.

Y

-

?

b

.

X

=3.5-0.7×4.5=0.35
所求的回歸方程為：y=0.7x+0.35…（9分）
當x=1000，y=1000×0.7+0.35=700.35噸，
預測生產1000噸甲產品的生產能耗700.35噸．…（10分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個基礎題，解題時運算量比較大，注意利用公式求系數時，不要在運算上出錯．