Question

已知函數

（1）當時，求函數在的值域；

（2）若關于的方程有解，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)值域為 ；（2）的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）當時，是個指數形式的函數，求其值域為可以使用換元法求解，令，將轉化為關于的二次函數形式，，根據二次函數在給定區間上求解即可.易錯點：要注意定義域的變化，其中的取值范圍為在的值域.

（2）問有解，求得取值范圍，可使用分離參數法，，保證函數和函數有交點即可，既是求函數的值域，求值域的方法是先換元后配方，但要注意定義域的變化，求出函數的值域為，即是在內，則.

試題解析：

（1）當時，，令，則，因而，故值域為 .

（2）方法一:由得；由題意可知與有交點即可.

令，得則得，所以即的取值范圍為.

方法二：方程有解,令，則原題意等價于在有解，

記,當時，得，不成立；當時，根據根的分布的.

方法三：方程有解,令，則原題意等價于在有解，即：的值域就是的取值范圍，所以.

考點：1.值域的求法；2.函數有解問題；3.根的分布.