Question

已知定點F（1，0），F′（-1，0），動點P滿足|

PF

|，

2

2

|

FF′

|，|PF′|成等差數列
（1）求動點P的軌跡E的方程
（2）過點F（1，0）且與x軸不重合的直線l與E交于M、N兩點，以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

（1）由題意可得：|

PF

|+|

PF′

|=2•

2

2

|

FF′

|=2

2

＞|

FF′

|，
由橢圓的定義可得：動點P的軌跡E是橢圓，且a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴動點P的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）①當直線l與x軸垂直時，l：x=1．
此時M(1，

2

2

)，N(1，-

2

2

)，以MN為對角線的正方向的另外兩個頂點為(1±

2

2

，0)，不合題意；
②當直線l與x軸既不垂直也不重合時，設l：y=k（x-1）（k≠0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

．
∴MN的中點坐標為(

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

)．
則線段MN的中垂線m的方程為y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
即m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
則直線m與y軸的交點為Q(0，

k

2k2+1

)，
而以MN為對角線的正方形的第三個頂點Q恰在y軸上，
∴QM⊥QN，即

QM

•

QN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)•(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
整理得x1x2+y1y2-

k

2k2+1

（y₁+y₂）+

k2

(2k2+1)2

=0，（*）
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1

代入（*）解得k=±1．
故所求直線方程為x+y-1=0或x-y-1=0．