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(2011•濰坊二模)如圖,已知定點F(-1,0),N(1,0),以線段FN為對角線作周長是4
2
的平行四邊形MNEF.平面上的動點G滿足|
GO
|=2(O為坐標原點)
(I)求點E、M所在曲線C1的方程及動點G的軌跡C2的方程;
(Ⅱ)已知過點F的直線l交曲線C1于點P、Q,交軌跡C2于點A、B,若|
AB
|∈(2
3
15
),求△NPQ內切圓的半徑的取值范圍.
分析:(I)根據橢圓的定義,可得曲線C1是以F、N為焦點的橢圓,由題中數據即可求出曲線C1的方程為
x2
2
+y2=1;再由圓的定義即可得到動點G的軌跡C2的方程為x2+y2=4;
(II)由題意得直線l與x軸不垂直,設l方程為y=k(x+1),利用點到直線的距離公式結合垂徑定理,算出|AB|=2
3+
1
1+k2
.設P(x1,y1)、Q(x2,y2),△NPQ內切圓半徑r滿足
1
2
|NF|•|y1-y2|=
1
2
•r•(|PN|+|PQ|+|QN|),結合題中數據得到r=
2
4
|y1-y2|,由直線方程與橢圓消去x,得關于y的二次方程,再利用根與系數的關系算出|y1-y2|關于k的式子,從而得到r關于k的函數關系式,結合函數的單調性討論可得r的取值范圍.
解答:解:(I)∵四邊形MNEF是平行四邊形,周長為4
2

∴點E到點F、N的距離之和等于2
2
(定長),且|NF|=2<2
2

由橢圓的定義,得曲線C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
可得a=
2
,c=1,b2=a2-c2=1,
∴曲線C1的方程為
x2
2
+y2=1
∵|
GO
|=2,∴動點G的軌跡為以原點為圓心,半徑為2的圓
即曲線C2的方程為x2+y2=4;
(II)當l垂直x軸時,令x=-1代入曲線C2的方程得y=±
3

∴|AB|=2
3
∉(2
3
15
),不符合題意
因此直線l與x軸不垂直,設l方程為y=k(x+1)
原點到直線l的距離為d=
|k|
1+k2

由圓的幾何性質,得到|AB|=2
r2-d2
=2
4-
k2
1+k2
=2
3+
1
1+k2

由|AB|∈(2
3
15
),解之得k2
1
3

聯解
y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
,消去x得(2+
1
k2
)y2-
2
k
y-1=0
設P(x1,y1),Q(x2,y2),△NPQ內切圓的半徑為r
可得y1+y2=
2
k
2+
1
k2
=
2k
2k2+1
,y1y2=-
1
2+
1
k2
=-
2k2
2k2+1

1
2
|NF|•|y1-y2|=
1
2
•r•(|PN|+|PQ|+|QN|),其中|NF|=2,|PN|+|PQ|+|QN|=4
2

∴r=
2
4
|y1-y2|
而|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y 1y2
=
(
2k
2k2+1
)2+
4k2
2k2+1
=
2[1-
1
(1+2k2)2
]

k2
1
3
,∴1-
1
(2k2+1)2
16
25

另外,因為1-
1
(2k2+1)2
<1,即
4
5
2
<|y1-y2|
2
,可得r=
2
4
|y1-y2|∈(
2
5
1
2

∴△NPQ內切圓的半徑的取值范圍為(
2
5
1
2
).
點評:本題給出動點軌跡,求軌跡的方程并討論截得三角形內切圓半徑的取值范圍.著重考查了點到直線的距離公式、垂直定理、一元二次方程根與系數的關系和函數單調性等知識,屬于難題.
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xx-2
<0
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(2,+∞)
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101
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m
=(cos?x,sin?x),
n
=(cos?x,2
3
cos?x-sin?x)
,?>0,函數f(x)=
m
n
+|
m
|
,x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意兩個元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2

(1)求?的值.
(2)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對邊.f(A)=2,c=2,S△ABC=
3
2
,求a的值

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5
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