Question

（2013•湖南）已知函數f(x)=cosx•cos(x-

π

3

)
（1）求f(

2π

3

)的值；
（2）求使f(x)＜

1

4

 成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）將x=

2π

3

代入f（x）解析式，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡即可得到結果；
（2）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，變形后，利用余弦函數的圖象與性質即可得到滿足題意x的集合．

解答：解：（1）f（

2π

3

）=cos

2π

3

cos（

2π

3

-

π

3

）=cos

2π

3

cos

π

3

=-cos²

π

3

=-

1

4

；
（2）f（x）=cosxcos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x=

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

，
∴f（x）＜

1

4

，化為

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

＜

1

4

，即cos（2x-

π

3

）＜0，
∴2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

（k∈Z），
則使f（x）＜

1

4

成立的x取值集合為{x|kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

（k∈Z）}．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及余弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．