Question

已知函數f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當x＜0時，f（x）＞0；
（1）驗證函數f(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足這些條件；
（2）從奇偶性和單調性的角度考慮，這樣的函數f（x）還具有什么樣的性質？將它寫出來，并加以證明；
（3）若f(-

1

2

)=1，試解方程f(x)=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式，求出函數的定義域．利用對數的運算法則，計算f（x）+f（y）與f(

x+y

1+xy

)并加以對照，由對數的運算性質及當x＜0時f（x）為正數，可得答案．
（2）令x=y=0求得f（0）的值，再令y=-x，利用奇偶性的定義可得函數是（-1，1）上的奇函數．由f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)及當x＜0時f（x）＞0，結合函數單調性的定義證明，可得f（x）在（-1，1）上是減函數．
（3）根據（2）中函數的奇偶性，將f（-

1

2

）=1化為f（

1

2

）=-1，進而根據f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)將抽象不等式具體化，得到關于x的方程，解之可得答案．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

可得-1＜x＜1，即其定義域為（-1，1）
f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)
=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又∵當x＜0時，1-x＞1+x＞0，
∴

1-x

1+x

＞1可得ln

1-x

1+x

＞0
∴f(x)=ln

1-x

1+x

滿足這些條件．
（2）結論：函數f（x）是（-1，1）上的奇函數且是（-1，1）上的單調減函數．
證明如下
∵f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
因此，f（x）在（-1，1）上是奇函數．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
∴當-1＜x＜y＜1時

x-y

1-xy

＜0，由條件知f(

x-y

1-xy

)＞0，可得f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是減函數．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函數，f(-

1

2

)=1
∴f(

1

2

)=-1，方程f(x)=-

1

2

即2f（x）=-1
∵2f（x）=f（x）+f（x）=f(

2x

1+x2

)，f（x）在（-1，1）上是單調函數，
∴由f(

2x

1+x2

)=-1，得

2x

1+x2

=

1

2

，解之得x=2±

3

，
由于2+

3

∉（-1，1），故x=2-

3

．

點評：本題給出抽象函數滿足的條件，求函數的單調性、奇偶性并解關于x的方程．著重考查了函數的定義、函數的簡單性質和賦值法研究抽象函數的等知識，屬于中檔題．