Question

如圖，PD⊥平面ABCD，ABCD是邊長為2的正方形，PD=1．求異面直線PA與BD所成角的大小．

Answer 1

分析：如圖，延長DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF連接AF，PF，EF，DF可證得∠PAF（或其補角）的大小即為異面直線PA與BD所成角的大小，在這個三角形中求角即可

解答：解：如圖，延長DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF．
連接AF，PF，EF，DF．
因為ABCD是正方形，
所以AD∥BF，且AD=BF，
所以AF∥BD．
故∠PAF（或其補角）的大小即為異面直線PA與BD所成角的大小．
又正方形邊長為2，PD=1，
故PA=

5

，AF=2

2

，DF=

CF2+CD2

=2

5

．
所以，PF=

PD2+DF2

=

21

．
于是，cos∠PAF=

PA2+AF2-PF2

2PA•AF

=

5+8-21

2• 5 •2 2

=-

10

5

，
所以異面直線PA與BD所成角的大小為arccos

10

5

．

點評：本題考查異面直線所成的角，其步驟是作角，證角，求角，本題中采用了補形的方法作出了兩異面直線所成的角（或其補角）這是求異面直線時常采用的一個技巧．