Question

如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，D，M分別為AB，PA的中點．求證：
（1）PB∥面CDM； 
（2）AB⊥PC．

Answer 1

分析：（1）根據DM是△PAB的中位線得到PB∥DM，再利用線面平行判定定理即可證出PB∥面CDM； 
（2）由等腰三角形的“三線合一”證出CD⊥AB，結合PD⊥AB利用線面垂直判定定理，證出AB⊥面PCD，從而證出AB⊥PC．

解答：解：（1）∵△PAB中，D、M分別為AB、PA的中點，
∴DM是△PAB的中位線，可得PB∥DM，…（4分）
∵DM?面CDM，PB?面CDM，
∴PB∥面CDM．…（6分）
（2）∵PD⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PD⊥AB，
又∵AC=BC，D為AB中點，∴CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD內的相交直線
∴AB⊥面PCD，
又∵PC?面PCD，∴AB⊥PC．…（12分）

點評：本題在三棱錐中證明線面平行和異面垂直，著重考查了線面平行判定定理、線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．