Question

如圖，點F（a，0）（a＞0），點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且．
（1）求點N的軌跡C；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設K（-a，0），的夾角為θ，求證．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設點N（x，y），然后可以得到向量、，進而根據、可得答案．
（2）先設出直線方程，然后和（1）中所求的軌跡方程聯立得到兩根之和與兩根之積，進而由得到答案．
解答：解：（1）設N（x，y）∵
∴M（-x，0），P（0，）=（-X，-），=（a，-）
∵∴=-ax+=0
∴y²=4ax

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直線l：y=k（x-a）=（x₁+a，y₁）=（x₂+a，y₂）
聯立∴ky²-4ay-4ka²=0
∴，y₁y₂=-4a²，x₁x₂=a²，
∴=（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²+y₁y₂
=2a²+-4a²=-2a²=2=＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，）
點評：本題主要考查向量的數量積運算和圓錐曲線的有關問題．在解決圓錐曲線的有關問題時，一般都是聯立直線方程和圓錐曲線方程求出兩根之和與兩根之積，然后 根據題意解題．