Question

為減少世博中心區域內的環境污染，有關部門決定，從2006年開始停止辦理世博中心區域內摩托車入戶手續．此時該區域內居民摩托車擁有量已達1.6萬輛．據測算，每7輛摩托車排放污染物總量等于一輛公交車排放的污染物，而每輛摩托車的運送能力是一輛公交車運送能力的4%．若從2006年年初起n年內退役部分摩托車，第一年退役a萬輛，以后每年退役的摩托車數量是上一年的80%，同時增加公交車的數量，使新增公交車的運送能力等于退役摩托車原有的運送能力．
（1）求n年內新增公交車的總量S_n（萬輛）；
（2）要求到2010年年初，剩余摩托車與新增公交車排放污染物的總量不超過原有1.6萬輛摩托車排放污染物總量的一半，假定每輛摩托車排放污染物數量為b，問第一年至少退役摩托車多少萬輛？（精確到0.01）

Answer 1

【答案】分析：（1）設2006年底退役摩托車為a₁萬輛，2007年底為a₂萬輛，依此類推，則：a₁=a，a_n+1=0.8a_n，然后根據等比數列的求和公式求出n年內退役的摩托車數量，從而求出n年內新增公交車的總量S_n（萬輛）；
（2）根據到2010年年初，剩余摩托車與新增公交車排放污染物的總量不超過原有1.6萬輛摩托車排放污染物總量的一半建立不等關系，解之即可求出第一年至少退役摩托車數量．
解答：解：（1）設2006年底退役摩托車為a₁萬輛，2007年底為a₂萬輛，依此類推，則：a₁=a，a_n+1=0.8a_n
所以n年內退役的摩托車數量是S’=a₁+a₂+…+a_n=
所以n年內新增公交車的總量S_n=5a（1-0.8ⁿ）4%=0.2a（1-0.8ⁿ）
（2）到2010年年初退役的摩托車數量是：5a（1-0.8⁴）
剩余的摩托車數量是：1.6-5a（1-0.8⁴）
新增公交車的數量S₄=0.2a（1-0.8⁴）
依題：[1.6-5a（1-0.8⁴）]b+0.2a（1-0.8⁴）7b≤0.5×1.6b
解得a≥0.38
所以第一年至少退役摩托車0.38萬輛
點評：本題主要考查了數列的應用，同時考查了等比數列的求和以及理解題意的能力，屬于中檔題．