Question

【題目】某大學有甲、乙兩個圖書館，對其借書、還書的等待時間進行調查，得到下表： 甲圖書館

借（還）書等待時間T1（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數	1500	1000	500	500	1500

乙圖書館

借（還）書等待時間T2（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數	1000	500	2000	1250	250

以表中等待時間的學生人數的頻率為概率．
（1）分別求在甲、乙兩圖書館借書的平均等待時間；
（2）學校規定借書、還書必須在同一圖書館，某學生需要借一本數學參考書，并希望借、還書的等待時間之和不超過4分鐘，在哪個圖書館借、還書更能滿足他的要求？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據已知可得T1的分布列：

T1（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3

T1的數學期望為：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．

T2（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.2	0.1	0.4	0.25	0.05

T2的數學期望為：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：該同學甲、乙兩圖書館借書的平均等待時間分別為：2.9分鐘，2.85分鐘．

（2）解：設T11，T12分別表示在甲圖書館借、還書所需等待時間，設事件A為“在甲圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T11+T12≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．

∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．

設T21，T22分別表示在乙圖書館借、還書所需等待時間，設事件B為“在乙圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T21+T22≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．

∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．

∴P（A）＞P（B）．∴在甲圖書館借、還書更能滿足他的要求．

【解析】（1）根據已知可得T1 ， T2的分布列及其數學期望．（2）設T11 ， T12分別表示在甲圖書館借、還書所需等待時間，設事件A為“在甲圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T11+T12≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．設T21 ， T22分別表示在乙圖書館借、還書所需等待時間，設事件B為“在乙圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T21+T22≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．