Question

如圖所示的五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=EF=2，AF=BE=2．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明AM⊥FA，再根據DA⊥面ABEF，AM?面ABEF，可得AM⊥DA，利用線面垂直的判定定理證明AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求出平面DEF、平面ADF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-DF-E的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵M為EF的中點，
∴EM=AB=2
∵AB∥EF
∴四邊形ABEM是平行四邊形
∴AM=BE=2
∵AF=2，MF=
∴△FAM為直角三角形且∠FAM=90°
∴AM⊥FA
∵DA⊥面ABEF，AM?面ABEF
∴AM⊥DA
∵DA∩FA=A
∴AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）解：如圖，以A為原點，以AM、AF、AD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
可得=（2，0，0），=（-2，2，0），=（0，2，-1），
設平面DEF的法向量為=（x，y，z），則．
∴，∴可取=（1，1，2）
∵AM⊥平面ADF，∴=（2，0，0）是平面ADF的一個法向量
∴cos＜＞===
∴二面角A-DF-E的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．