Question

在△ABC中，已知tan

C

2

=sin（A+B），給出以下四個論斷：
①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤

2

③sin²A+cos²B=1    ④sin²A+sin²B+sin²C=2
其中一定正確的是

 

（填上所有正確論斷的序號）．

Answer 1

分析：本題考查的知識點兩角和與差的正弦函數，及三角函數中的恒等變形，由△ABC中三個內角和為π，結合tan

C

2

=sin（A+B）我們易判斷三個內角A，B，C之間的關系，然后逐一對四個結論進行判斷，即可得到答案．

解答：解：∵A+B+C=180°
∴sin（A+B）=sinC
又∵tan

C

2

=

sinC

1+cosC

=

sin(A+B)

1+cosC

=sin（A+B），
∴cosC=0
即C=90°
∴A+B=90°
故tanA×cotB=tanA²=1不一定成立，故①錯誤；
1＜sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）≤

2

，故②正確；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=1 不一定成立，故③錯誤；
sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+cos²A+sin²C=2，故④正確；
故答案為：②④

點評：要根據某個恒成立的三角函數關系式，判斷三角形的形狀，一般的思路是分析角與角的關系，如果有三個角相等，則為等邊三角形；如果只能得到兩個角相等，則為普通的等腰三角形；如果兩個角和為90°，或一個角為90°，則為直角三角形．