Question

在等比數(shù)列{a_n} 中，若a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，則a₅等于

1. A.
   
2. B.
   81
3. C.
   81或
4. D.
   81或

Answer 1

D
分析：法一：由a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，利用韋達定理求出兩個之和與兩根之積，聯(lián)立求出方程的兩個根，得出a₁和a₂的值，但是a₁和a₂的大小未知，故分兩種情況考慮，a₁和a₂是1和3，或3和1，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出a₅的值；
法二：利用分解因式法求出已知一元二次方程的解，可得出a₁和a₂的值，根據(jù)a₁和a₂的大小未知，分兩種情況考慮，a₁和a₂是1和3，或3和1，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出a₅的值．
解答：法一：∵a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，
∴a₁+a₂=4，a₁a₂=3，
∴a₁=1，a₂=3，或a₁=3，a₂=1，
∴公比q=3或，
則a₅=a₁q⁴=81或；
法二：x²-4x+3=0，
可化為：（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴a₁=1，a₂=3，或a₁=3，a₂=1，
∴公比q=3或，
則a₅=a₁q⁴=81或．
故選D
點評：此題考查了一元二次方程的解法，韋達定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，由于a₁和a₂的大小未知，故分兩種情況考慮．