Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖,在平面直角坐標系中, 已知分別是橢圓的左、右焦點分別是橢圓的左、右頂點,為線段的中點, 且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓上的動點(異于點),連接并延長交橢圓于點,連接、并分別延

長交橢圓于點連接,設直線、的斜率存在且分別為、,試問是否存在常數,使

得恒成立？若存在,求出的值；若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在，．

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用向量的相等建立方程組求解；(2)借助題設條件運用直線與橢圓的位置關系聯立坐標方程求解.

試題解析：

（1）,化簡得,點為線段的中點,, 從而,左焦點,故橢圓的方程為.

（2）存在滿足條件的常數.設,

則直線的方程為,代入橢圓方程整理得,.

,從而,故點.同理,點.因為三點、、共線，所以,從而.

從而,

故,從而存在滿足條件的常數.