Question

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.

（Ⅰ）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（Ⅱ）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）;

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據提議可知，點在線段的垂直平分線上，則，又，則，設，可得點的軌跡方程為.

（Ⅱ）設經過點的直線為，由題意可知的斜率存在，設直線的方程為，將其代入橢圓方程整理可得，設，則，故；對進行討論（1）當時，點關于原點對稱，則；（2）當時，點不關于原點對稱，則

由，得，故則，因為在橢圓上，故

化簡，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯立①②兩式及，得，故且綜上得實數的取值范圍是.

試題解析：（Ⅰ）點在線段的垂直平分線上，則，又，

則，故可得點的軌跡方程為.

（Ⅱ）令經過點的直線為，則的斜率存在，設直線的方程為，

將其代入橢圓方程整理可得

設，則，故

（1）當時，點關于原點對稱，則

（2）當時，點不關于原點對稱，則

由，得，故

則，因為在橢圓上，故

化簡，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯立①②兩式及，得，故且

綜上（1）（2）兩種情況，得實數的取值范圍是.

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系.