Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx）．

b

=（cosx-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）三角形ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足A=

π

3

，f（B）=1，

3

a+

2

b=10，求邊c．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由f（B）=1可求得B=

π

4

，由正弦定理可設(shè)設(shè)

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，結(jié)合題意可得k=4，從而可求得c．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），…（3分）
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ得由f（x）遞增得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．  …（6分）
（2）由f（B）=1⇒sin（2B+

π

4

）=

2

2

及0＜B＜π得B=

π

4

，…（8分）
設(shè)

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，則

3

ksin

π

3

+

2

ksin

π

4

=10，
∴

5

2

k=10，k=4 …（10分）
所以c=ksinC=4sin（A+B）=4（sin

π

3

cos

π

4

+cos

π

3

sin

π

4

）=

6

+

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查解三角形，突出考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．