Question

（本題滿分12分）已知函數，．
（1）求函數的單調區間和極值；
（2）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱；
證明：當時，
（3）如果且，證明

Answer 1

（Ⅰ）在區間內是增函數，在區間內是減函數．
函數在處取得極大值．且．
（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了運用導數研究函數的性質的綜合運用。
（1）利用導數，結合導數的符號與函數單調性的關系得到第一問中的單調區間和極值問題。
（2）先利用對稱性求解函數的解析式，然后構造函數證明不等式恒成立，或者利用第一問的結論，結合對稱性得到證明。
（3）由上可知函數的的單調性，結合性質可知不等式的證明。
（Ⅰ）．令，則．
當變化時，的變化情況如下表：

	增	極大值	減

所以在區間內是增函數，在區間內是減函數．
函數在處取得極大值．且．
（Ⅱ）因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，
所以，于是．
記，則，，
當時，，從而，又，所以，
于是函數在區間上是增函數．
因為，所以，當時，．因此．
（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
(2) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
根據(1)，(2)可得．不妨設．
由（Ⅱ）可知，所以．
因為，所以，又，由（Ⅰ），在區間內是增函數，
所以　，即．