Question

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)f（x）=x³-2x²+x+a，則當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)可能是（　　）

A．2、4 個(gè)

B．2、6 個(gè)

C．2、4、6個(gè)

D．0、2、4個(gè)

Answer 1

分析：先考慮當(dāng)x∈[0，+∞），a＜0時(shí)，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)，令 g（x）=x³-2x²+x，則 f（x）=g（x）-（-a），
即把函數(shù)g（x）的圖象向下平移-a個(gè)單位得到f（x）的圖象．畫出函數(shù)g（x）的簡圖，數(shù)形結(jié)合求得g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即可求得函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x³-2x²+x+a，
先考慮當(dāng)x∈[0，+∞）且a＜0時(shí)，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)（即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)）．
令 g（x）=x³-2x²+x=x•（x-1）²，則 f（x）=g（x）-（-a），
即把函數(shù)g（x）的圖象向下平移-a個(gè)單位得到f（x）的圖象．
而函數(shù)g（x）在[0，+∞）上的零點(diǎn)有2個(gè)：即 0 和1，如圖所示：

故當(dāng)x∈[0，+∞）且a＜0 時(shí)，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，
故當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，
可得方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)可能為2，4，6，
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．