Question

若a＞0，b＞0，且a+b=c，
求證：（1）當r＞1時，a^r+b^r＜c^r；（2）當r＜1時，a^r+b^r＞c^r．

Answer 1

分析：

ar+br

cr

=(

a

c

)r+(

b

c

)r，由此能夠證明：（1）當r＞1時，a^r+b^r＜c^r；（2）當r＜1時，a^r+b^r＞c^r．

解答：證明：

ar+br

cr

=(

a

c

)r+(

b

c

)r，其中0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1．
（1）當r＞1時，(

a

c

)r+(

b

c

)r＜

a

c

+

b

c

=1，所以a^r+b^r＜c^r；
（2）當r＜1時，(

a

c

)r+(

b

c

)r＞

a

c

+

b

c

=1，所以a^r+b^r＞c^r．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要注意公式的靈活運用．