Question

如圖，正四棱錐中P-ABCD，點E，F分別在棱PA，BC上，且AE=2PE，
（1）問點F在何處時，EF⊥AD？
（2）當EF⊥AD且正三角形PAB的邊長為a時，求點F到平面PAB的距離；
（3）在第（2）條件下，求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：本題利用空間直角坐標系，求出相關向量，利用數量積和距離公式解答．
（1）先作PO⊥平面ABCD，依題意O是正方形ABCD的中心，如圖建立空間坐標系．
設AB=a，PO=b，寫出點的坐標：，利用向量的數量積即可證得EF⊥AD；
（2）設點F到平面PAB的距離為d．先求得面PAB的法向量，再結合向量的數量積即可求出點F到平面PAB的距離；
（3）設二面角C-AP-B的平面角為θ，先求出平面PAB的法向量為和平面PAC的法向量，最后利用夾角公式即可求得二面角C-PA-B的大小．
解答：解：（1）作PO⊥平面ABCD，依題意O是正方形ABCD的中心，如圖建立空間坐標系．
設AB=a，PO=b，．（2分），.．
∴當F為BC的三等分點（靠近B）時，有EF⊥AD..（4分）
（2）設點F到平面PAB的距離為d.，，，，設面PAB的法向量為
∴，（6分）
∴．（8分）
（3）設二面角C-AP-B的平面角為θ，平面PAB的法向量為．
設平面PAC的法向量為，∴．（10分）
∴．∴．（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直，二面角，點的平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．