Question

（2013•湖北）已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和，S₄，S₂，S₃成等差數列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，依題意，列出關于其首項a₁與公辦q的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）依題意，可求得1-（-2）ⁿ≥2013，對n的奇偶性分類討論，即可求得答案．

解答：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，顯然q≠1，由題意得

a1(1-q4) 1-q + a1(1-q3) 1-q = 2a1(1-q2) 1-q a3 q +a3+qa3=-18

，解得q=-2，a₃=12，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=a₃•q^n-3=12×（-2）^n-3=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．若存在正整數n，使得S_n≥2013，則S_n=

3[1-(-2)n]

1-(-2)

=1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，
當n為偶數時，2ⁿ≤-2012，上式不成立；
當n為奇數時，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，則n≥11．
綜上，存在符合條件的正整數n=2k+1（k≥5），且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1（k≥5）}．

點評：本題考查等比數列的通項公式，考查等比數列的求和，考查分類討論思想與方程思想，考查綜合分析與推理運算能力，屬于難題．