Question

已知sin（π-α）=

4

5

，α∈（0，

π

2

）．
（1）求sin2α-cos²

α

2

的值；
（2）求函數f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x的單調遞增區間．

Answer 1

分析：通過條件求出sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
（1）利用二倍角的正弦，余弦的升角降次，直接求出sin2α-cos²

α

2

的值．
（2）化簡函數f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x為

2

2

sin（2x-

π

4

），借助正弦函數的單調增區間，求出函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：∵sin（π-α）=

4

5

，∴sinα=

4

5

．
又∵α∈（0，

π

2

），∴cosα=

3

5

．
（1）sin2α-cos²

α

2

=2sinαcosα-

1+cosα

2

=2×

4

5

×

3

5

-

1+ 3 5

2

=

4

25

．
（2）f（x）=

5

6

×

3

5

sin2x-

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x-

π

4

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，k∈Z．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3

8

π]，k∈Z．

點評：本題是基礎題，考查二倍角格式的靈活應用，基本三角函數的單調增區間的求法，考查公式的靈活運用能力，基本知識的掌握程度．